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抛物线y^2=x的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程

最佳答案 - 由投票者2008-05-17 20:02:10选出

抛物线y^2=x的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程
解：令平行弦所在直线的方程为： Y=2X+b………………(1)
代入抛物线方程得 （2X+b）^2=x, 即
4X^2+(4b-1)x+b^2=0;
其中△=（4b-1）^2-16b^2= -8b+1≥0,即b≤1/8.
设平行弦与抛物线的交点的坐标为（X1,Y1）;(X2,Y2).,则由韦达定理有
X1+X2= -（4b-1）/4
Y1+Y2=(2X1+b)+(2X2+b)=2(X1+X2)+2b= -(4b-1)/2+2b=1/2:
设平行弦中点M的坐标为（X,Y）,则
X=(X1+X2)/2=(1-4b)/8,由此得b=(1/4)-2X, (b≤1/8)
Y=(Y1+Y2)/2=1/4
将b之值代入（1）式便得平行弦中点M的轨迹方程为
Y=2X+(1/4)-2X=1/4.即Y=1/4为所求。